Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]時，則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）判斷函數(shù)y=3-

4

x

是否存在“和諧區(qū)間”，并說明理由；
（2）如果[m，n]是函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)的一個“和諧區(qū)間”，求n-m的最大值；
（3）有些函數(shù)有無數(shù)個“和諧區(qū)間”，如y=x，請你再舉一類（無需證明）

Answer 1

分析：（1）該問題是一個判斷性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進(jìn)行證明，即先假設(shè)區(qū)間[m，n]為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到矛盾，進(jìn)而得到假設(shè)不成立，原命題成立．
（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集，我們可以用a表示出n-m的取值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到答案．
（3）根據(jù)“和諧區(qū)間”的定義，我們還可以寫出以下函數(shù)：y=a-x（a為常數(shù)），y=

k

x

（k＞o為常數(shù)）滿足有無數(shù)個“和諧區(qū)間”．

解答：解：（1）設(shè)[m，n]是函數(shù)y=3-

4

x

的“和諧區(qū)間”，則y=3-

4

x

在[m，n]上單調(diào)．
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
因此，y=3-

4

x

在[m，n]上為增函數(shù)．
則f（m）=m，f（n）=n．即方程3-

4

x

=x有兩個解m，n
又3-

4

x

=x可化為x²-3x+4=0，而x²-3x+4=0無實數(shù)解．
所以，函數(shù)y=3-

4

x

不存在“和諧區(qū)間”
（2）因為f(x)=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上是單調(diào)的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
則f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是

a+1

a

-

1

a2x

=x的兩個同號的實數(shù)根
即方程a²x-（a²+a）x+1=0有兩個同號的實數(shù)根，注意到mn=

1

a2

＞0
只要△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

( a2+a a2 )- 4 a2

=

- 3 a2 + 2 a +1

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

其中a＞1或a＜-3，所以，當(dāng)a=3時，n-m取最大值

2 3

3

（3）答案不唯一，如可寫出以下函數(shù)：y=a-x（a為常數(shù)），y=

k

x

（k＞0為常數(shù)）

點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解，考查了利用已學(xué)知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．