【題目】已知函數(shù)f (x)=exax-1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.

(1)若a=e,函數(shù)g (x)=(2-e)x

①求函數(shù)h(x)f (x)g (x)的單調(diào)區(qū)間;

②若函數(shù)的值域為R,求實數(shù)m的取值范圍;

(2)若存在實數(shù)x1,x2[0,2],使得f(x1)f(x2),且|x1x2|≥1

求證:e1ae2e

【答案】(1)[0, ].(2)e1ae2e

【解析】試題分析:(1)①由,得到函數(shù),求得,利用, ,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②由,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,分分離討論,即可求解實數(shù)的取值范圍;

(2)由,若時, ,函數(shù)單調(diào)遞增,不符合題意,

當(dāng)時,得出的單調(diào)性,不妨設(shè)時,有 ,利用函數(shù)的單調(diào)性得到,列出不等式組,即可求解范圍。

試題解析:

(1)當(dāng)a=e時,f (x)=ex-ex-1.

① h (x)=f (x)-g (x)=ex-2x-1,h′ (x)=ex-2.

由h′ (x)>0得x>ln2,由h′ (x)<0得x<ln2.

所以函數(shù)h(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (ln2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為 (-∞,ln2).

② f ′ (x)=ex-e.

當(dāng)x<1時,f′ (x)<0,所以f (x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時,f′ (x)>0,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

1° 當(dāng)m≤1時,f (x)在(-∞,m]上單調(diào)遞減,值域為[em-em-1,+∞),

g(x)=(2-e)x在(m,+∞)上單調(diào)遞減,值域為(-∞,(2-e)m),

因為F(x)的值域為R,所以em-em-1≤(2-e)m,

即em-2m-1≤0. (*)

由①可知當(dāng)m<0時,h(m)=em-2m-1>h(0)=0,故(*)不成立.

因為h(m)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,1)上單調(diào)遞增,且h(0)=0,h(1)=e-3<0,

所以當(dāng)0≤m≤1時,h(m)≤0恒成立,因此0≤m≤1.

2° 當(dāng)m>1時,f (x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,m]上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f (x)=ex-ex-1在(-∞,m]上的值域為[f (1),+∞),即[-1,+∞).

g(x)=(2-e)x在(m,+∞)上單調(diào)遞減,值域為(-∞,(2-e)m).

因為F(x)的值域為R,所以-1≤(2-e)m,即1<m≤

綜合1°,2°可知,實數(shù)m的取值范圍是[0,].

(2)f ′ (x)=exa

a≤0時,f ′ (x)>0,此時f(x)在R上單調(diào)遞增.

f(x1)=f(x2)可得x1x2,與|x1x2|≥1相矛盾,

所以a>0,且f(x)在(-∞,lna]單調(diào)遞減,在[lna,+∞)上單調(diào)遞增.

x1,x2∈(-∞,lna],則由f (x1)=f (x2)可得x1x2,與|x1x2|≥1相矛盾,

同樣不能有x1x2∈[lna,+∞).

不妨設(shè)0≤x1x2≤2,則有0≤x1<lnax2≤2.

因為f(x)在(x1,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,x2)上單調(diào)遞增,且f (x1)=f (x2),

所以當(dāng)x1≤x≤x2時,f (x)≤f (x1)=f (x2).

由0≤x1x2≤2,且|x1x2|≥1,可得1∈[x1,x2],

f (1)≤f (x1)=f (x2).

又f (x)在(-∞,lna]單調(diào)遞減,且0≤x1<lna,所以f (x1)≤f (0),

所以f (1)≤f (0),同理f (1)≤f (2).

解得e-1≤ae2e-1,

所以 e-1≤ae2e

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患心肺疾病

不患心肺疾病

合計

5

10

合計

50

已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為 ,
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進行其它方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為ξ,求ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望以及方差.
下面的臨界值表僅供參考:

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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A.
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D.2

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