Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù),,設(shè)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若以函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。
(2)
(3) 當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)

試題分析：解：（I），
∵，由，∴在上單調(diào)遞增。
由，∴在上單調(diào)遞減。
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。
（II），
恒成立
當(dāng)時(shí)，取得最大值。
∴，∴
（III）若的圖象與的圖象恰有四個(gè)不同得交點(diǎn)，即有四個(gè)不同的根，亦即有四個(gè)不同的根。
令，
則
當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表：

x
的符號(hào)	＋	－	＋	－
的單調(diào)性

由表格知：，
畫(huà)出草圖和驗(yàn)證可知，當(dāng)時(shí)，與恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。
∴當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，進(jìn)而得到求解。同時(shí)對(duì)于方程根的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)處理，屬于中檔題。