【題目】已知橢圓: ()的離心率為,以橢圓的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,斜率為的直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),點(diǎn)在直線的左上方.若,且直線, 分別與軸交于, 點(diǎn),求線段的長度.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析: (1)由已知條件求出 的值,得出橢圓方程; (2)設(shè)直線 的方程, 聯(lián)立直線與橢圓方程,求出兩根之和,兩根之積,求出 ,得到為等腰直角三角形,求出線段 的長.
試題解析:(1)由題意知,解之,得.
所以橢圓的方程為;
(2)設(shè)直線, ,
將代入中,化簡整理,得,
,得,
于是有, , ,
注意到,
上式中,分子
,
從而, ,由,可知,
所以是等腰直角三角形, ,即為所求.
點(diǎn)睛:本題主要考查了求橢圓方程以及直線與橢圓相交時求另一線段的長,計算量比較大,屬于中檔題.解題思路:在(1)中,直接由已知條件得出;在(2)中,通過求出,而,得出,得到為等腰直角三角形,再求出線段 的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中, 為直角, .沿的中位線,將平面折起,使得,得到四棱錐.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積;
(Ⅲ)是棱的中點(diǎn),過做平面與平面平行,設(shè)平面截四棱錐所得截面面積為,試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn) , 兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測, 產(chǎn)品的利潤與投資關(guān)系如圖(1)所示; 產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(2)所示(注:利潤和投資單位:萬元).
(1)分別將 , 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知該企業(yè)已籌集到 萬元資金,并將全部投入 , 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).問怎樣分配這 萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓是以的中點(diǎn)為圓心, 為半徑的圓.
(Ⅰ)若圓的切線在軸和軸上截距相等,求切線方程;
(Ⅱ)若是圓外一點(diǎn),從向圓引切線, 為切點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),且有,求使最小的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的值;
(2)討論方程的實(shí)數(shù)根的情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個焦點(diǎn)分別為, ,過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于, 兩個不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年時紅軍長征勝利80周年,某市電視臺舉辦紀(jì)念紅軍長征勝利80周年知識問答,宣傳長征精神.首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進(jìn)行支持簽名活動,其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運(yùn)之星,每人獲得一個紀(jì)念品,其數(shù)據(jù)表格如下:
公園 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
獲得簽名人數(shù) | 45 | 60 | 30 | 15 |
(Ⅰ)求此活動中各公園幸運(yùn)之星的人數(shù);
(Ⅱ)從乙和丙公園的幸運(yùn)之星中任選兩人接受電視臺記者的采訪,求這兩人均來自乙公園的概率;
(Ⅲ)電視臺記者對乙公園的簽名人進(jìn)行了是否有興趣研究“紅軍長征”歷史的問卷調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果如下(單位:人):
有興趣 | 無興趣 | 合計 | |
男 | 25 | 5 | 30 |
女 | 15 | 15 | 30 |
合計 | 40 | 20 | 60 |
據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為有興趣研究“紅軍長征”歷史與性別有關(guān).
臨界值表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,過分別作曲線與的切線,且與關(guān)于軸對稱,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , .
(1)設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證: .
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