Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）令a=-1，設(shè)函數(shù)f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點(diǎn)M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M，N的公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）據(jù)求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，代入已知條件得關(guān)系．
（2）令導(dǎo)數(shù)為0得兩個(gè)根，分類討論兩個(gè)根大小判斷根左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得函數(shù)單調(diào)性．
（3）由（2）求出極值點(diǎn)，由兩點(diǎn)式求出直線方程，與曲線方程聯(lián)立判斷有無(wú)其他公共點(diǎn)．

解答：解：解法一：（1）依題意，得
f′（x）=x²+2ax+b．
由f′（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1．
（2）由（1）得f（x）=x³+ax²+（2a-1）x，故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）．
令f′（x）=0，則x=-1或x=1-2a．
①當(dāng)a＞1時(shí)，1-2a＜-1．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

由此得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）．
②當(dāng)a=1時(shí)，1-2a=-1．此時(shí)，f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R．
③當(dāng)a＜1時(shí)，1-2a＞-1，同理可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）．
綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）．
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，得f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
由f′（x）=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
由（2）得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，3），
所以函數(shù)f（x）在x₁=-1，x₂=3處取得極值．故M（-1，

5

3

），N（3，-9）．
所以直線MN的方程為y=-

8

3

x-1．
由

y= 1 3 x3-x2-3x y=- 8 3 x-1

得x³-3x²-x+3=0．
令F（x）=x³-3x²-x+3．
易得F（0）=3＞0，F(xiàn)（2）=-3＜0，而F（x）的圖象在（0，2）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故F（x）在（0，2）內(nèi)存在零點(diǎn)x₀，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點(diǎn)．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，得f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
由f′（x）=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
由（2）得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，3），所以函數(shù)f（x）在x₁=-1，x₂=3處取得極值，
故M（-1，

5

3

），N（3，-9）．
所以直線MN的方程為y=-

8

3

x-1．
由x³-3x²-x+3=0．
解得x₁=-1，x₂=1，x₃=3．
∴

x1=-1 y1= 5 3

，

x2=1 y2=- 11 3

，

x3=3 y3=-9

所以線段MN與曲線F（x）有異于M，N的公共點(diǎn)（1，-

11

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．