Question

（本小題滿分12分）在等比數(shù)列中，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意∴a_n＝2·2^n－1＝2ⁿ．                                        …4分
（Ⅱ）S_n＝＝2(2ⁿ－1)，                                     …6分
所以
S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)]，
設(shè)T_n＝2＋2·2²＋…＋n·2ⁿ，                                     ①
則2T_n＝2²＋2·2³＋…＋n·2^n＋1，                              ②
①－②，得
－T_n＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝－n·2^n＋1＝(1－n)2^n＋1－2，
∴T_n＝(n－1)2^n＋1＋2，                                               …9分
∴S₁＋2S₂＋…＋nS_n＝2[(n－1)2^n＋1＋2]－n(n＋1)
＝(n－1)2^n＋2＋4－n(n＋1)．                                …12分

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和問題。考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析問題的能力，第一問利用基本量思想解決，第二問主抓數(shù)列的通項(xiàng)公式采用分組求和的方法求解.