Question

(理)如圖,沿河邊AB建一水站P供甲、乙兩個(gè)學(xué)校共同使用,已知學(xué)校甲離河邊1千米,乙學(xué)校離河邊2千米,而甲、乙兩校相距千米,如果兩校決定用同一種造價(jià)的水管送水.

(1)設(shè)PA=x(x＞0),試將x表示成送水需要的水管總長(zhǎng)y的函數(shù);

(2)問(wèn)水站P建在什么位置,購(gòu)買水管的費(fèi)用最低?

(文)將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作,沿線裁去陰影部分,把剩余部分按要求焊接成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體水箱(其中①與③、②與④分別是全等的矩形,且⑤+⑥=⑦),設(shè)水箱的高為x米,容積為y立方米.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如何設(shè)計(jì)x的大小,使得水箱裝的水最多?

Answer 1

答案：(理)解:(1)由題意,AB=3,CP=,DP=，

故y=(0＜x＜3).

(2)y′==0,

即,兩邊平方,得,

化簡(jiǎn),得x²+2x-3=0,所以x=1.(x=-3舍去)所以x=1時(shí)購(gòu)買水管的費(fèi)用最低.

(文)解：(1)設(shè)水箱的高為x(米),則水箱底面⑦的長(zhǎng)、寬分別為=3-x(米)、=1-x(米).

故水箱的容積為y=x(3-x)(1-x)=x³-4x²+3x(0＜x＜1).

(2)由y′=3x²-8x+3=0,得x=，所以y=x³-4x²+3x(0＜x＜1)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,1)上單調(diào)遞減.所以x=時(shí)水箱的容積最大.