Question

已知數(shù)列｛a_n｝滿足a₁＝1，且a₁，a₂－a₁，a₃－a₂，…，a_n－a_n1是公比為2的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列｛b_n｝的前n項的和為B_n＝．若T_n＝，試判斷與T_n的大小，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：因為a1＝1，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an+1是公比為2的等比數(shù)列，則an－an+1＝2n+1． 　　a2－a1＝2，a3－a2＝22，…an－an+1＝2n+1，將以上各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n+1，即an＝1＋2＋22＋…＋2n+1＝2n－1，所以＝． 　　又bn＝Bn－Bn－1＝－＝n(n≥2)，當(dāng)n＝1時．b1＝B1＝1，故bn＝n(n∈N*)． 　　得Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋－＝1－＝． 　　因此要比較與Tn的大�。�只要比較與的大小即可． 　　當(dāng)n＝1時，＝，＝，則＜ 　　當(dāng)n＝2時，＝，＝，則＜ 　　當(dāng)n＝3時，＝，＝，則＞ 　　當(dāng)n＝4時，＝，＝，則＞．所以n＝1，2時，＜． 　　猜想：n≥3，且n∈N*時，＞． 　　證明如下：要證命題成立，只要證(2n－1)(n＋1)＞n(2n＋1)，即證2n＞2n＋1，即證(1＋1)n＞2n＋1， 　　即證＋＋＋…＋＋＞2n＋1 　　即證…＋＋1＞0(當(dāng)n≥3) 　　以上各步可逆，所以命題成立． 　　點評：本題是數(shù)列與不等式綜合題，在比較大小時采用了先猜想，然后用二項式定理展開式采用分析法來證明不等式．