Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，且AB＝，BC＝1，E，F(xiàn)分別為AB，PC中點(diǎn).

 

 

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：平面PAC⊥平面PDE.

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）方法一：取線段PD的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，AM．

 

 

因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以FM∥CD，且FM＝CD．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，

所以EA∥CD，且EA＝CD．

所以FM∥EA，且FM＝EA．

所以四邊形AEFM為平行四邊形．

所以EF∥AM．            ……………………… 5分

又AMÌ平面PAD，EFË平面PAD，所以EF∥平面PAD．  ………7分

方法二：連結(jié)CE并延長交DA的延長線于N，連結(jié)PN．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AD∥BC，

所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

    又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

    又F為PC的中點(diǎn)，所以EF∥NP．………… 5分

又NPÌ平面PAD，EFË平面PAD，所以EF∥平面PAD．              ……………7分

方法三：取CD的中點(diǎn)Q，連結(jié)FQ，EQ．

在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．

所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ∥AD．

又ADÌ平面PAD，EQË平面PAD，所以EQ∥平面PAD．         ………………2分

因?yàn)镼，F(xiàn)分別為CD，CP的中點(diǎn)，所以FQ∥PD．

又PDÌ平面PAD，F(xiàn)QË平面PAD，所以FQ∥平面PAD．   

    又FQ，EQÌ平面EQF，F(xiàn)Q∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分

因?yàn)镋FÌ平面EQF，所以EF∥平面PAD．      ……………………………… 7分

（2）設(shè)AC，DE相交于G．

在矩形ABCD中，因?yàn)锳B＝BC，E為AB的中點(diǎn).所以＝＝．

     又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

     又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．

由△DGC的內(nèi)角和為180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．  ……………………… 10分

因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD         因?yàn)镈EÌ平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，

    又DEÌ平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． …………………………  14分

【解析】略