Question

【題目】設(shè)函數(shù)φ（x）=a2x﹣ax（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；
（2）當(dāng)a= 時(shí)，φ（x）≤t2﹣2mt+2對(duì)所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵φ（x）=a2x﹣ax=（ax﹣ ）2﹣ （a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]，

∴當(dāng)a＞1時(shí)，φmax（x）=φ（2）=a4﹣a2；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φmax（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；

∴φmax（x）= ．

（2）解：當(dāng)a= 時(shí)，φ（x）=2x﹣（ ）x，

由（1）知，φmax（x）=φ（2）=（ ）4﹣（ ）2=4﹣2=2，

∴φ（x）≤t2﹣2mt+2對(duì)所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立

m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，

令g（m）=﹣2tm+t2，則 ，即 ，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．

【解析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論，即可求得函數(shù)φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）當(dāng)a= 時(shí)，φ（x）≤t2﹣2mt+2對(duì)所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（m）=﹣2tm+t2，則 ，解之即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．