Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x-a．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0對任意x∈R都成立，求g（a）=1+a|a-3|的最大值；
（3）當a＞1時，求關(guān)于x的方程e^x-x-a=0的根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用函數(shù)的導數(shù)，求解函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）≥0對任意x∈R都成立，利用（1）推出g（a）=1+a|a-3|的表達式，然后通過二次函數(shù)求出表達式的最大值；
（3）利用（1）當a＞1時，結(jié)合函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性推出關(guān)于x的方程e^x-x-a=0的根的個數(shù)．
解答：解：（1）f（x）=e^x-x-a，故f′（x）=e^x-1，由f′（x）=e^x-1=0，
得x=0，當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），增區(qū)間為（0，+∞）；   …（5分）
（2）若f（x）≥0對任意x∈R都成立，則a≤（e^x-x）_min，
由（1）得當求x=0時，（e^x-x）_min=1，故a≤1，
∴，
∴當a=1時，g（a）_max=1+|1-3|=3；  …（10分）
（3）由（1）得f（x）_min=f（0）=1-a，當a＞1時，f（0）＜0，
又∵f（-a）=e^-a＞0，且x→+∞時，f（x）→+∞，
故關(guān)于x的方程e^x-x-a=0的根的個數(shù)為2個．                …（14分）
點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點，考查分析問題解決問題的能力．