Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=2，an+1=

2an

an+1

（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求證：a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜3．

Answer 1

分析：（1）對an+1=

2an

an+1

兩邊取倒數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造出等比數(shù)列{

1

an

-1}，通過等比數(shù)列{

1

an

-1}的通項求出數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

，對n≥2時放縮：a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1) (2n-2)

=

2n-1

(2n-1) (2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，各項相加后容易證明．

解答：解：（1）對an+1=

2an

an+1

兩邊取倒數(shù)，得出

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，
兩邊減去1，化簡并整理得出

1

an+1

-1=

1

2

•(

1

an

-1)，
所以數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列，公比為

1

2

，首項為

1

a1

-1=-

1

2

，

1

an

-1=(-

1

2

)•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，a_n=

2n

2n-1

，
（2）證明：a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

n≥2時，a_n（a_n-1）=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1) (2n-2)

=

2n-1

(2n-1) (2n-1-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

所以a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜

2

(2 -1)2

+（

1

2 -1

-

1

22-1

）+（

1

22 -1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）=2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3
所以原不等式成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的遞推關(guān)系，同時考查了計算能力，屬于中檔題．