Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足為M．
（Ⅰ）求證：AM⊥PD；
（Ⅱ）求三棱錐B-AMC的體積；
（III）已知點(diǎn)N在AC上，當(dāng)N 點(diǎn)在什么位置時(shí)，使得MN∥平面PBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AM⊥PD，只要證明PD⊥平面AMB 即可，因?yàn)橐阎狟M⊥PD，所以只要證明PD⊥AB即可，為此需要證明AB⊥平面PAD，由已知條件可以得出；
（Ⅱ）要計(jì)算三棱錐B-AMC的體積，只要求出把△BAC作為底面時(shí)的高即可，只要作MH⊥AD，則可以證明MH⊥底面ABCD；
（Ⅲ）點(diǎn)N在AC上，使得MN∥平面PBC，只要理解對(duì)角線BD與AC相較于一點(diǎn)N，利用三角形的中位線可以證出．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵BA⊥AD，AD∩PA=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD．
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，
∴PD⊥平面ABM．
∴PD⊥AM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AM⊥PD．
∵在△PAD中，AP=AD=2，∴M是PD的中點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AD，則MH⊥底面ABCD，且MH=

1

2

AP=1．
∴V_{三棱錐B-AMC}=

1

3

×S△ABC×MH=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．
（Ⅲ）連接BD，交AC于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)時(shí)，滿足MN∥平面PBC．
證明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN?平面PBC，PB?平面PBC，
∴MN∥平面PBC．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．