Question

在正三棱錐P-ABC中，AB=

2

，PA=

3

+1，過(guò)點(diǎn)A作截面交PB，PC分別于D，E，則截面△ADE的周長(zhǎng)的最小值是

6

+

2

．

Answer 1

分析：畫(huà)出正三棱錐P-ABC側(cè)面展開(kāi)圖，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的距離最小值問(wèn)題，求出∠APB與∠APA₁，即可求得結(jié)果．

解答：解：三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖，
△ADE的周長(zhǎng)的最小值為AA₁，
在△PAB中，sin

1

2

∠APB=

2 2

3 +1

=

6 - 2

4

，∴

1

2

∠APB=15°，
∠APB=30°，
在△APA₁中，∴sin∠APA₁=sin90°=1，
所以AA₁=

2

PA=

6

+

2

，
故答案為：

6

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中將三棱錐的側(cè)面展開(kāi)，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．