Question

（2009•湖北模擬）如圖，長方體AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，E、F、G分別為棱DD₁、D₁C₁、BC的中點，
（1）試在棱A₁D₁上找一點H，使EH∥平面FGB₁；
（2）求四面體EFGB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連接DP、EH，通過EH∥平面FGB₁，說明EH∥B₁G，得到HD₁=

1

4

A₁D₁．
（2）以D為原點，直線DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用法向量，求出E到平面FGB₁的距離d，底面S△FGB1，然后求四面體EFGB₁的體積．

解答：解：（1）取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連接DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁．
即H在A₁D₁上，且HD₁=

1

4

A₁D₁，使EH∥平面FGB₁                              （6分）
（2）以D為原點，直線DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標系
則E（0，0，

1

2

），F（0，1，1），B₁（1，2，1），G（

1

2

，2，0），
∴

EF

=(0，1，

1

2

)，

FB1

=(1，1，0)，

B1G

=(-

1

2

，0，-1)，
設平面FGB₁的法向量

n

=(x，y，1)
由

n

⊥

FB1

，

n

⊥

B1G

得

x+y=0 - 1 2 x-1=0

，∴x=-2，y=2，

n

=(-2，2，1)
∵E到平面FGB₁的距離d=|

EF • n

n

|=

5

6

|

FB1

|=

2

，|

B1G

|=

5

2

，|

FG

|=

3

2

，
∵cos∠FB1G=

( 2 )2+( 5 2 )2-( 3 2 )2

2× 2 × 5 2

=

10

10

，
∴sin∠FB₁G=

3 10

10

．
∴S△FGB1=

1

2

×

2

×

5

2

×

3 10

10

=   

3

4

．
VEFGB1=

1

3

×

3

4

×

5

6

=

5

24

         （12分）

點評：本題是中檔題，考查直線與平面的位置關系，探究點的位置，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．