【題目】已知橢圓的離心率，且圓經(jīng)過橢圓C的上、下頂點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓C相切，且與橢圓相交于M，N兩點，證明：的面積為定值（O為坐標原點）.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)圓經(jīng)過橢圓C的上、下頂點，可得，再根據(jù)離心率即可求得橢圓方程.

（2）分斜率存在與否兩種情況討論，分別計算出的面積，即可得證.

（1）解：因為圓過橢圓C的上、下頂點，所以.

又離心率，所以，則.

故橢圓C的方程為.

（2）證明：橢圓，

當直線l的斜率不存在時，這時直線l的方程為，

聯(lián)立，得，即，

則.

當直線l的斜率存在時，設，

聯(lián)立，得，

由，可得.

聯(lián)立，得.

設，所以，

則.

因為原點到直線l的距離，

所以.

綜上所述，的面積為定值.

練習冊系列答案
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x(單位：元)

30

40

50

60

y(單位：萬人)

4.5

4

3

2.5

(1)若y與x具有較強的相關關系，試分析y與x之間是正相關還是負相關；

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；

(3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程，預測票價定為多少元時，能獲得最大票房收入．

參考公式：，.

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(1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為選手成績優(yōu)秀與文化程度有關？

優(yōu)秀

合格

總計

大學組

中學組

總計

(2)若參賽選手共6萬名，用頻率估計概率，試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù)；

(3)在優(yōu)秀等級的選手中選取6名，在良好等級的選手中選取6名，都依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級的選手中任取一名，記其編號為a，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為b，求使得方程組有唯一一組實數(shù)解(x，y)的概率．

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

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(2)從數(shù)學核心素養(yǎng)等級是一級的學生中任取一人，其綜合指標為，從數(shù)學核心素養(yǎng)等級不是一級的學生中任取一人，其綜合指標為，記隨機變量，求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望.

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