Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x）的圖象關(guān)于直線x =2對稱．

（Ⅰ）證明：f（x+4）= f（x）；

（Ⅱ）當(dāng)x∈（4,6）時(shí)，f（x）= ．討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以點(diǎn)Q（4-x，y）也在該函數(shù)圖象上．

所以f（x）=f（4-x）． 

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，

所以f（-x）=f（x），所以f（-x）=f（4-x），所以f（x+4）= f（x）．

（Ⅱ）因?yàn)楫?dāng)x∈（4，6）時(shí),f（x）=

當(dāng)0<x<2時(shí)，4<x+4<6，

由（Ⅰ）知f（x） = f（x+4）= =

=

令0，得x=-3或x=l，因?yàn)?<x<2，所以x=1．

因?yàn)?i>x∈（0，1）時(shí)，<0，x∈（1，2）時(shí), >0，

所以函數(shù)以f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）當(dāng)4<x<6時(shí), f（x）= ,

=

    令f′（x）=0，得x=1或x=5．因?yàn)?<x<6，所以x=5．

    因?yàn)?i>x∈（4，5）時(shí),<0，x∈（5，6）時(shí)，>0．

    所以函數(shù)f（x）在（4，5）內(nèi)單調(diào)遞減，在（5，6）內(nèi)單調(diào)遞增．

    因?yàn)?i>f（x+4）= f（x），所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，

    所以函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．