設數(shù)列{an}滿足：a1=a，an+1=
2an
an+1
(n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}是無窮常數(shù)列，求a的值；
（2）當a∈（0，1）時，對數(shù)列{an}的任意相鄰三項an，an+1，an+2，證明：
an
(1-
a
2
n
)2
+
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
+
a
3
n+2
(1-
a
4
n+2
)2
＜
1
(1-an+2)2
．
分析：（1）由于數(shù)列{an}是無窮常數(shù)列，可得a=
2a
a+1
，解得a即可；
（2）利用已知可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．通過放縮法即可證明．
解答：（1）解：∵數(shù)列{an}是無窮常數(shù)列，∴a=
2a
a+1
，解得a=1；
（2）證明：∵a1=aa∈（0，1），∴a2=
2
a+1
×a1＞a1，另一方面a2=
2
1+
1
a
＜1，
∴0＜a1＜a2＜1．
依此類推可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．
∴
0＜a
2
n
＜
a
2
n+2
＜1，∴1＞1-
a
2
n
＞1-
a
2
n+2
＞0，
∴
an
(1-
a
2
n
)2
＜
an
(1-
a
2
n+2
)2
＜
an+2
(1-
a
2
n+2
)2
，
即
an
(1-
a
2
n
)2
＜
an+2
(1-
a
2
n+2
)2
，
同理可得
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
＜
a
2
n+2
(1-
a
3
n+2
)2
．
∴左邊＜
1
(1-an+2)2
[
an+2
(1+an+2)2
+
a
2
n+2
(1+an+2+
a
2
n+2
)2
+
a
3
n+2
(1+an+2)2(1+
a
2
n+2
)2
]
∵
an+2
(1+an+2)2
=
an+2
1+2an+2+
a
2
n+2
＜
an+2
1+an+2+
a
2
n+2
，
同理
a
2
n+2
(1+an+2+
a
2
n+2
)2
＜
a
2
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
，
a
3
n+2
(1+an+2)2(1+
a
2
n+2
)2
＜
a
3
n+2
(1+an+2)2
＜
a
3
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
．
∴左邊＜
1
(1-an+2)2
an+2+
a
2
n+2
+
a
3
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
＜
1
(1-an+2)2
•an+2＜
1
(1-an+2)2
=右邊．
∴左邊＜右邊．
點評：利用已知得出數(shù)列的單調(diào)性和利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c為實數(shù)
（1）證明：an∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設0＜c＜
1
3
，證明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）設0＜c＜
1
3
，證明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，當x1、x2∈R且x1+x2=1時，總有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）設數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c為實數(shù)，且c≠0
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式
（Ⅱ）設a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1對任意n∈N*成立，求實數(shù)c的范圍．（理科做，文科不做）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}滿足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an；
（2）求{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域為Dn，把Dn內(nèi)的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠排列成點列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設數(shù)列{an}滿足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大�。�

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