Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（2）若不等式在區(qū)間（）上的解集為非空集合，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）先求定義域，再求導(dǎo)，對a進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間. （2）由題意可得在上存在使 成立，即求的最小值小于等于，對a進(jìn)行分類討論，求出的最值，即可解出a的范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，

①當(dāng)，即時，

∵，

∴，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)，即時，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時的最小值為

若，即時，恒大于0，此時函數(shù)沒有零點；

若，即時，函數(shù)有一個零點；

若，即時，函數(shù)有兩個零點.

綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；

當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.

（2）由（1）可知，當(dāng)時，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以只需要，

即，顯然成立，

∴；

當(dāng),即時，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時需要，

即，不等式無解；

當(dāng)，即時，

在上單調(diào)遞增，所以只需要，

即，顯然成立，

∴；

當(dāng)，即時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

此時只需，解得.

綜上可知實數(shù)的取值范圍為.