Question

（2012•宣城模擬）袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)紅球，它們大小、形狀完全相同，僅強(qiáng)度不同，白球被擊中1次破裂（成粉末），紅球被擊中2次破裂（被擊中1次外形不改變）．現(xiàn)隨機(jī)擊2次，設(shè)每次均擊中一球，每球被擊中的可能性相等，記ξ為袋中剩余球的個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）求袋中恰好剩2個(gè)球的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）袋中恰好剩2個(gè)球，表示分別擊中兩個(gè)白球，故可求概率；
（Ⅱ）ξ的可能取值：2，3，4．袋中恰好剩3個(gè)球分三類(lèi)：擊中一白一紅；擊中一紅一白；擊中同一紅球；從而可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）袋中恰好剩2個(gè)球，表示分別擊中兩個(gè)白球，P（ξ=2）=

C

1 2

×

1

4

×

1

3

=

1

6

…（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值：2，3，4  …（5分）
袋中恰好剩3個(gè)球分三類(lèi)：擊中一白一紅P1=

C

1 2

C

1 2

×

1

4

×

1

3

=

1

3

；
擊中一紅一白P2=

C

1 2

C

1 2

×

1

4

×

1

4

=

1

4

；擊中同一紅球P3=

C

1 2

×

1

4

×

1

4

=

1

8

∴P（ξ=3）=P1+P2+P3=

17

24

（8分）
P（ξ=4）=

C

1 2

×

1

4

×

1

4

=

1

8

…（10分）
ξ的分布列如下：

ξ	2	3	4
P	1 6	17 24	1 8

Eξ=2×

1

6

+3×

17

24

+4× 

1

8

=

71

24

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是確定ξ的可能取值，并明確其意義．