Question

現(xiàn)要圍成一面靠墻，三面用鋼筋網(wǎng)的長(zhǎng)方形的籠子．
（1）現(xiàn)有12m長(zhǎng)的鋼網(wǎng)，當(dāng)籠子的邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)可使籠子的面積最大？
（2）若使籠子的面積為32cm²，則籠子的邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)可使所用鋼網(wǎng)總長(zhǎng)最小？

Answer 1

分析：（1）如圖所示，設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬y=

12-x

2

=6-

x

2

（m）．于是籠子的面積S=xy=x(6-

x

2

)=-

1

2

(x-6)2+18（0＜x＜12），利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最大值；
（2）使籠子的面積為32cm²，設(shè)籠子的長(zhǎng)為xcm，則寬為

32

x

cm．（x＞0）．所用鋼網(wǎng)總長(zhǎng)l=x+

2×32

x

cm，利用基本不等式即可得出最小值．

解答：解：（1）如圖所示，設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，則寬y=

12-x

2

=6-

x

2

（m）．
∴籠子的面積S=xy=x(6-

x

2

)=-

1

2

(x-6)2+18（0＜x＜12），
當(dāng)長(zhǎng)x=6時(shí)，可使籠子的面積最大為18m²，此時(shí)籠子的寬y=3m．
（2）使籠子的面積為32cm²，設(shè)籠子的長(zhǎng)為xcm，則寬為

32

x

cm．（x＞0）
所用鋼網(wǎng)總長(zhǎng)l=x+2×

32

x

≥2

x• 64 x

=16，當(dāng)且僅當(dāng)x=8，取等號(hào)．
∴當(dāng)籠子的長(zhǎng)為8cm、寬為4cm時(shí)可使所用鋼網(wǎng)總長(zhǎng)l最小為16cm．
答：（1）當(dāng)籠子的長(zhǎng)為6m，寬為3m時(shí)可使籠子的面積最大為18m²；
（2）當(dāng)籠子的長(zhǎng)為8cm、寬為4cm時(shí)可使所用鋼網(wǎng)總長(zhǎng)l最小為16cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題．