Question

如果橢圓C和雙曲線C′具有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則稱橢圓C是雙曲線C′的“伴生”橢圓，據(jù)此，焦點(diǎn)在x軸上，以y=±x為漸近線，且焦點(diǎn)到漸近線距離為1的雙曲線的“伴生”橢圓的方程是

x2

4

+

y2

2

=1

．

Answer 1

分析：由題意，焦點(diǎn)在x軸上，以y=±x為漸近線，且焦點(diǎn)到漸近線距離為1的雙曲線，可設(shè)其焦點(diǎn)為（±c，0），由點(diǎn)到直線的距離公式得1=

c

2

，解得c=

2

，從而得出a的值，解出雙曲線的離心率，再由定義得出橢圓的離心率，及焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由離心率公式即可解出a′=2，進(jìn)而求出b′=

2

，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可

解答：解：由題意雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)焦點(diǎn)為（±c，0），又y=±x為漸近線，且焦點(diǎn)到漸近線距離為1
∴a=b且1=

c

2

，解得c=

2

，
∴a=b=1，故此雙曲線的離心率為

c

a

=

2

由定義知，其對應(yīng)的橢圓的離心率為

2

2

又橢圓的焦點(diǎn)（±

2

，0），可得a′=2，從而b′=

2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1
故答案為

x2

4

+

y2

2

=1

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考察了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解定義，由定義得出橢圓的參數(shù)的值，本題考察了閱讀能力及推理判斷的能力，本部分題符號計(jì)算多，運(yùn)算量大，解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免馬虎出錯