Question

已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，三個側(cè)面均為矩形，底面ABC為等腰直角三角形，C₁C=CA=CB=2，點(diǎn)D為棱CC₁的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱B₁C₁上運(yùn)動．
（I）求證A₁C⊥AE；
（II）當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)某一位置時，恰使二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值為

6

6

，求

C1E

C1B1

；
（III）在（II）的條件下，在平面ABC上確定點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁DB？并求出EF的長度．

Answer 1

分析：（I）以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），要證A₁C⊥AE，可證

A1C

⊥

AE

，只需證明

A1C

•

AE

=0，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明；
（II）分別求出平面EA₁D、平面A₁DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于

6

6

，解得m值，由此可得答案；
（III）在（II）的條件下，設(shè)F（x，y，0），可知

EF

與平面A₁DB的一個法向量平行，由此可求出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而求出|

EF

|，即得答案；

解答：解：（I）以CB為x軸，CA為y軸，CC₁為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），
C（0，0，0），A（0，2，0），A₁（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），

A1C

=（0，-2，-2），

AE

=（m，-2，2），
因?yàn)?span id="fsvzplz" class="MathJye">

A1C

•

AE

=0+（-2）×（-2）-2×2=0，
所以

A1C

⊥

AE

，即A₁C⊥AE；
（II）

DE

=（m，0，1），

DA1

=（0，2，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面EA₁D的一個法向量，
則

n • DE =0 n • DA1 =0

，即

mx+z=0 2y+z=0

，取

n

=（2，m，-2m），

DB

=（2，0，-1），設(shè)

n

=（x，y，z）為平面A₁DB的一個法向量，
則

n • DB =0 n • DA1 =0

，即

2x-z=0 2y+z=0

，取

n

=（1，-1，2），
由二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值為

6

6

，得|

2-m-4m

4+m2+4m2 • 6

|=

6

6

，解得m=1，
所以

C1E

C1B1

=

1

2

；
（III）由（II）知E（1，0，2），且

n

=（1，-1，2）為平面A₁DB的一個法向量，
設(shè)F（x，y，0），則

EF

=（x-1，y，-2），且

EF

∥

n

，所以x-1=-1，y=1，解得x=0，y=1，
所以

EF

=（-1，1，-2），|

EF

|=

(-1)2+12+(-2)2

=

6

，
故EF的長度為

6

，此時點(diǎn)F（0，1，0）．

點(diǎn)評：本題考查重點(diǎn)考查直線與平面垂直的性質(zhì)、二面角的平面角及其求法、空間點(diǎn)、線、面間距離計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力．