Question

若，，，為常數(shù)，且

（Ⅰ）求對所有實(shí)數(shù)成立的充要條件（用表示）；

（Ⅱ）設(shè)為兩實(shí)數(shù)，且,若

求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）．

Answer 1

解：（Ⅰ）恒成立

;

（*）

因?yàn)?sub>,

所以，故只需（*）恒成立.

綜上所述，對所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是.   ………4分    

（Ⅱ）1°如果，則的圖象關(guān)于直線對稱．因?yàn)?sub>，所以區(qū)間關(guān)于直線 對稱．

因?yàn)闇p區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為.   ………6分

2°如果.

（1）當(dāng)時(shí).，

當(dāng)，因?yàn)?sub>，所以，故=.

當(dāng)，因?yàn)?sub>，所以，故=.

因?yàn)?sub>，所以，所以即

.

當(dāng)時(shí)，令，則，所以，

當(dāng)時(shí)，，所以=;

時(shí)，，所以=.

在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和

=.                        …………10分

（2）當(dāng)時(shí).，

當(dāng)，因?yàn)?sub>，所以，故=.

當(dāng)，因?yàn)?sub>，所以，故=.

因?yàn)?sub>，所以，所以.

當(dāng)時(shí)，令，則，所以，

當(dāng)時(shí)， ，所以=;

時(shí)，，所以=;

在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和

=.

綜上得在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為.              …………14分