【題目】已知數(shù)列，，且對任意n恒成立．

（1）求證：(n)；

（2）求證：(n)．

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）利用數(shù)學歸納法直接證明，假設(shè)當時，成立，則當時，，將代入即可證得：當時，成立，問題得證。

（2）利用數(shù)學歸納法證明，先證明時，成立，假設(shè)當時， 成立，證明：當時，成立，

因為，可將證明問題轉(zhuǎn)化成：證明，轉(zhuǎn)化成證明，再轉(zhuǎn)化成證明（）成立。構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)即可判函數(shù)在上遞增，結(jié)合，即可證得：當時，成立，即可證得：當，成立，問題得證。

（1）①當時，

滿足成立.

②假設(shè)當時，結(jié)論成立.即：成立

下證：當時，成立。

因為

即：當時，成立

由①、②可知，(n)成立。

（2）（�。┊�時，成立，

當時，成立，

（ⅱ）假設(shè)時（），結(jié)論正確，即：成立

下證：當時，成立.

因為

要證，

只需證

只需證：，

只需證：

即證：（）

記

當時，

所以在上遞增，

又

所以，當時，恒成立。

即：當時，成立。

即：當時，恒成立.

所以當，恒成立.

由（�。áⅲ┛傻茫簩θ我獾恼麛�(shù)，不等式恒成立，命題得證.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】語文中回文句，如:“黃山落葉松葉落山黃，西湖垂柳絲柳垂湖西.”，倒過來讀完全一樣，數(shù)學中也有類似現(xiàn)象，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個數(shù)，稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”!二位的回文數(shù)有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個;三位的回文數(shù)有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90個;四位的回文數(shù)有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，999，共90個;五位的回文數(shù)有10001，11111，12221，…，96669，97779，98889，99999共900個，由此推測:10位的回文數(shù)總共有_______個.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

以直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點的直角坐標為，若直線的極坐標方程為曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）求直線和曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線和曲線交于兩點，求

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【題目】排一張5個獨唱和3個合唱的節(jié)目單，如果合唱不排兩頭，且任何兩個合唱不相鄰，則這種事件發(fā)生的概率是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】某研究機構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度，隨機選取了200名年齡在內(nèi)的市民進行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一～五組區(qū)間分別為，，，，，）.

（1）求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)；

（2）若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談，再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言，求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著高考制度的改革，某省即將實施“語數(shù)外+3”新高考的方案，2019年秋季入學的高一新生將面臨從物理（物）、化學（化）、生物（生）、政治（政）、歷史（歷）、地理（地）六科中任選三科（共20種選法）作為自己將來高考“語數(shù)外+3”新高考方案中的“3”某市為了順利地迎接新高考改革，在某高中200名學生中進行了“學生模擬選科數(shù)據(jù)”調(diào)查，每個學生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種學習模擬選課數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

為了解學生成績與學生模擬選課情況之問的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取40人的樣本進行分析

(1)從選擇學習物理且學習化學的學生中隨機抽取3人，求這3人中至少有2人要學習生物的概率：

(2)從選擇學習物理且學習化學的學生中隨機抽取3人，記這3人中要學習地理的人數(shù)為x，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

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【題目】南方智運汽車公司在我市推出了共享汽車“Warmcar”,有一款車型為“眾泰云”新能源共享汽車，其中一種租用方式“分時計費”規(guī)則為：0.15元/分鐘+0.8元/公里．已知小李家離上班地點為10公里，每天租用該款汽車上、下班各一次，由于堵車、及紅綠燈等原因每次路上開車花費的時間（分鐘）是一個隨機變量，現(xiàn)統(tǒng)計了100次路上開車花費時間，在各時間段內(nèi)是頻數(shù)分布情況如下表所示：

時間（分鐘）

頻數(shù)

2

6

14

36

28

10

4

（1）寫出小李上班一次租車費用（元）與用車時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系；

（2）根據(jù)上面表格估計小李平均每次租車費用；

（3）“眾泰云”新能源汽車還有一種租用方式為“按月計費”，規(guī)則為每個月收取租金2350元，若小李每個月上班時間平均按21天計算，在不計電費和情況下，請你為小李選擇一種省錢的租車方式．

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【題目】從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：

（1）從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；

（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；

（3）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，某地區(qū)積極踐行“綠水青山就是金山銀山”的綠色發(fā)展理念年年初至年年初，該地區(qū)綠化面積（單位：平方公里）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

年份代號

綠化面積

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，預測該地區(qū)年年初的綠化面積，并計算年年初至年年初，該地區(qū)綠化面積的年平均增長率約為多少.

（附：回歸直線的斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為，）

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