【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線向左平移2個(gè)單位,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)已知點(diǎn)在第一象限,四邊形是曲線的內(nèi)接矩形,求內(nèi)接矩形周長的最大值,并求周長最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)(2),
【解析】
(1)先將曲線化為普通方程,再根據(jù)坐標(biāo)變換規(guī)律,即可求得曲線的普通方程和參數(shù)方程;
(2)根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn),則,利用輔助角公式化簡周長的解析式,即可求出最大值及其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)由得
將代入,整理得曲線的普通方程為,
設(shè)曲線上的點(diǎn)為,變換后的點(diǎn)為
由題可知坐標(biāo)變換為,即代入曲線的普通方程,整理得
曲線的普通方程為 ,
曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(2)設(shè)四邊形的周長為,設(shè)點(diǎn),
,
且,,
,
.
且當(dāng)時(shí),取最大值,此時(shí),
所以,,,此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果有窮數(shù)列、、、、(為正整數(shù))滿足條件、、,即,我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列”.例如,數(shù)列、、、、與數(shù)列、、、、、都是“對(duì)稱數(shù)列”.
(1)設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”,其中、、、是等差數(shù)列,且,,依次寫出的每一項(xiàng);
(2)設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”,其中、、、是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,求各項(xiàng)的和;
(3)設(shè)是項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”,其中、、、是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,求前項(xiàng)的和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若不等式在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】嫦娥四號(hào)月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右,嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道,如圖中軌道③所示,其近月點(diǎn)與月球表面距離為公里,遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為公里.已知月球的直徑為公里,則該橢圓形軌道的離心率約為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,其離心率,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),面積的最大值是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過橢圓右頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來大氣污染防治工作得到各級(jí)部門的重視,某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本(單位:萬元)與日產(chǎn)量(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為,現(xiàn)為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治,該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備,每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為萬元,除塵后當(dāng)日產(chǎn)量時(shí),總成本.
(1)求的值;
(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為59萬元,試求除塵后日產(chǎn)量為多少時(shí),每噸產(chǎn)品的利潤最大,最大利潤為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等,記點(diǎn)的軌跡為曲線
(1)求曲線的方程
(2)設(shè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),的最短距離為,求的值以及取到最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)
(3)設(shè)為曲線的任意兩點(diǎn),滿足(為原點(diǎn)),試問直線是否恒過一個(gè)定點(diǎn)?如果是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);如果不是,說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2|x+1|.
(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)>4.
(2)若不等式f(x)<3x+4的解集是{x|x>2},求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為保護(hù)農(nóng)民種糧收益,促進(jìn)糧食生產(chǎn),確保國家糧食安全,調(diào)動(dòng)廣大農(nóng)民糧食生產(chǎn)的積極性,從2004年開始,國家實(shí)施了對(duì)種糧農(nóng)民直接補(bǔ)貼.通過對(duì)2014~2018年的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)某地區(qū)發(fā)放糧食補(bǔ)貼額(億元)與該地區(qū)糧食產(chǎn)量(萬億噸)之間存在著線性相關(guān)關(guān)系.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
補(bǔ)貼額億元 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
糧食產(chǎn)量萬億噸 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)請(qǐng)根據(jù)如表所給的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸直線方程;
(2)通過對(duì)該地區(qū)糧食產(chǎn)量的分析研究,計(jì)劃2019年在該地區(qū)發(fā)放糧食補(bǔ)貼額7億元,請(qǐng)根據(jù)(1)中所得的線性回歸直線方程,預(yù)測2019年該地區(qū)的糧食產(chǎn)量.
(參考公式:,)
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