Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），， .

（1）若是的極值點(diǎn)，且直線分別與函數(shù)和的圖象交于，求兩點(diǎn)間的最短距離；

（2）若時(shí)，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1（2）

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合題意可得|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得兩點(diǎn)間的最短距離是1；

(2)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

(1)因?yàn)?/span>F(x)=ex+sinxax,所以F′(x)=ex+cosxa，

因?yàn)?/span>x=0是F(x)的極值點(diǎn),所以F′(0)=1+1a=0，a=2.

又當(dāng)a=2時(shí),若x<0,F′(x)=ex+cosxa<1+12=0，

所以F′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以F′(x)>F′(0)=1+12=0,所以x=0是F(x)的極小值點(diǎn)，

所以a=2符合題意,所以|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,即h′(x)=ex+cosx2，

因?yàn)?/span>h′′(x)=exsinx,當(dāng)x>0時(shí),ex>1，1sinx1，

所以h′′(x)=exsinx>0,所以h′(x)=ex+cosx2在(0,+∞)上遞增，

所以h′(x)=ex+cosx2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)時(shí),h(x)的最小值為h(0)=1,所以|PQ|min=1.

(2)令，

則，

，

因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)恒成立；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)恒成立.

當(dāng)時(shí)， ， 在單調(diào)遞增，即.

故時(shí)恒成立.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以總存在，使在區(qū)間上，導(dǎo)致在區(qū)間上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)， ，這與對恒成立矛盾，所以不符合題意，故符合條件的的取值范圍是.