Question

已知拋物線L的方程為x²=2py（p＞0），直線y=x截拋物線L所得弦|AB|=4

2

．
（1）求p的值；
（2）拋物線L上是否存在異于點A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯立，求出A與B的坐標，再代入弦長即可求p的值；
（2）設出點C的坐標以及圓的圓心N，利用A、B、C三點在圓上，得出圓心坐標N和點C的坐標之間的關系式；再利用拋物線L在點C處的切線與NC垂直，代入即可求點C的坐標．

解答：解：（1）由

y=x x2=2py

解得A（0，0），B（2p，2p）
∴4

2

=AB=

4p2+4p2

=2

2

p，
∴p=2
（2）由（1）得x²=4y，A（0，0），B（4，4）
假設拋物線L上存在異于點A、B的點C(t，

t2

4

)(t≠0，t≠4)，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線
令圓的圓心為N（a，b），
則由

NA=NB NA=NC

得

a2+b2=(a-4)2+(b-4)2 a2+b2=(a-t)2+(b- t2 4 )2

得

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

?

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

∵拋物線L在點C處的切線斜率k=y′|x=t=

t

2

(t≠0)
又該切線與NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1?2a+bt-2t-

1

4

t3=0
∴2•(-

t2+4t

8

)+t•

t2+4t+32

8

-2t-

1

4

t3=0?t3-2t2-8t=0
∵t≠0，t≠4，
∴t=-2
故存在點C且坐標為（-2，1）．

點評：本題主要考查直線上兩點的斜率公式、直線與圓相切、垂徑定理、拋物線與圓的幾何性質等知識，考查學生的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．