Question

形如的式子叫做二行二列矩陣，定義矩陣的一種運算 =．該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣的作用下變換成點（ax+by，cx+dy）．
（1）設(shè)點M（-2，1）在的作用下變換成點M′，求點M′的坐標(biāo)；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n} 的前n項和為S_n ，且對任意正整數(shù)n，點A（S_n，n）在的作用下變換成的點A′在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上，求a_n的表達式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)b_n為數(shù)列{1-}的前n項的積，是否存在實數(shù)a使得不等式對一切n∈N^*都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法的乘法規(guī)則，將問題轉(zhuǎn)化為矩陣的計算；
（2）由題意S_n=n²+n，從而可求a_n的表達式；
（3）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決恒成立問題．
解答：解：（1）∵∴點M′的坐標(biāo)為（1，-2）；
（2）∵，∴A′（n，S_n）
∵點A′（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上，∴S_n=n²+n
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n
a₁=2滿足上式，∴a_n=2nn∈N^*
（3），設(shè)
∵
∴F（n）＞F（n+1），F(xiàn)（n）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)n=1時，F(xiàn)（n）取最大值
要使不等式對一切n∈N^*都成立，只需a
所以a的取值范圍為
點評：在二階矩陣對應(yīng)的變換作用下，它將平面上任意一個點（向量）（x，y）對應(yīng)惟一的一個平面點（向量）（x′，y′）．?dāng)?shù)列中的恒成立問題，通常可借助于構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進行解決．