精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°
.M是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明PB∥平面MAC
(Ⅱ)證明平面PAB⊥平面ABCD
(Ⅲ)求四棱錐p-ABCD的體積.
分析:(Ⅰ)因?yàn)镺M是中位線,所以PB∥OM.因?yàn)镻B?平面MAC,OM?平面MAC,所以PB∥平面MAC.
(Ⅱ)由題設(shè)PA=2,PD=2
2
可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA.在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.進(jìn)而可得平面PAB⊥平面ABCD.
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)P做PH⊥AB于H,因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD,由題意得求三棱錐的高PH=
3
.可得三棱錐的體積是2
3
解答:精英家教網(wǎng)解(Ⅰ)證明在△PBD中,
∵OM是中位線
∴PB∥OM
∵PB?平面MAC,
OM?平面MAC,∴PB∥平面MAC.
(Ⅱ)由題設(shè)PA=2,PD=2
2
可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA.
在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,
所以AD⊥平面PAB.
∵AD?平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
(Ⅲ)解:過(guò)點(diǎn)P做PH⊥AB于H,
∵平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD,
在Rt△PHA中PH=PAsin60°=
3
2
=
3

Vp-ABCD=
1
3
AB×AD×PH=
1
3
×3×2×
3
=2
3
點(diǎn)評(píng):證明線面平行只要在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可,證明面與面垂直只要證明其中一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線即可,求三棱錐的體積關(guān)鍵是找到一個(gè)高并且簡(jiǎn)單易求.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長(zhǎng);
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案