給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

解析試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標求出，利用短軸上的一個端點到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準圓的半徑，直接寫出準圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，②當(dāng)的斜率都存在時.
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為.                  2分
易知準圓半徑為，
則準圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設(shè)的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，
當(dāng)的方程為時，此時與準圓交于點，，
此時經(jīng)過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是或，
即為或，顯然直線垂直；           6分
同理可證直線的方程為時，直線也垂直．      7分
②當(dāng)的斜率都存在時，設(shè)點，其中.
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
由消去，得.
由化簡整理得，.  因為，
所以有.                10分
設(shè)直線的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足方程，
所以，即垂直．                  12分
綜合①②知，垂直．                       13分
考點：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足,0為坐標原點，求證為鈍角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的周長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，若（為坐標原點），求證：直線與圓相切.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，離心率為．
分別過，的兩條弦，相交于點（異于，兩點），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知焦點在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的左、右焦點分別為離心率為直線與C的兩個交點間的距離為
（I）求；
（II）設(shè)過的直線l與C的左、右兩支分別相交有A、B兩點，且證明：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，
以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.
⑴ 求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
⑵ 當(dāng)時，曲線和相交于、兩點，求以線段為直徑的圓的直角坐標方程.

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