Question

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），B（0，1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足①++=0,②||=||=||，③∥.

(1)求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(2)設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），已知∥，∥且·=0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

Answer 1

解析：(1)設(shè)C（x,y）,

∵+=2,由①知=-2，

∴G為△ABC的重心，

∴G().

由②知M是△ABC的外心，

∴M在x軸上.

由③知M（，0），

由||=||,

得，

化簡整理得：+y²=1(x≠0).

(2)F(,0)恰為+y²=1的右焦點(diǎn),

設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±,則直線PQ的方程為y=k(x-),

由(3k²+1)x²-6k²x+6k²-3=0.

設(shè)P（x₁,x₂）,Q(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁∶x₂=.則|PQ|=

.

∵RN⊥PQ,把k換成-得|RN|=,

∴S=|PQ|·|RN|=,

∴3(k²+)+10=.

∵k²+≥2,

∴≥16,

∴≤S＜2(當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)).

又當(dāng)k不存在或k=0時(shí)S=2，

綜上可得≤S≤2,

∴S_max=2,S_min=.