Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}為等差數(shù)列，且S₈=56．
①求該等差數(shù)列的公差d；
②設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=3ⁿ•a_n，則當(dāng)n為何值時(shí)，b_n最大？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若{a_n}還同時(shí)滿足：①{a_n}為等比數(shù)列；②a₂a₄=16；③對(duì)任意的正整數(shù)k，存在自然數(shù)m，使得S_k+2、S_k、S_m依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）①{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₅=17，S₈=56，建立方程組，即可求得該等差數(shù)列的公差d；
②確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，判斷其單調(diào)性，即可求得b_n最大值；
（2）先根據(jù)：①{a_n}為等比數(shù)列；②a₂a₄=16，確定{a_n}的通項(xiàng)，再利用S_k+2、S_k、S_m依次成等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）①由題意，得

2a1+4d=17 8a1+28d=56

，解得d=-1…（4分）
②由①知a1=

21

2

，所以an=

23

2

-n，則b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（

23

2

-n），…（6分）
因?yàn)閎_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）…（8分）
所以b₁₁=b₁₀，且當(dāng)n≤10時(shí)，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，當(dāng)n≥11時(shí)，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
故當(dāng)n=10或n=11時(shí)，b_n最大…（10分）
（2）因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，則a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以

a1=1 a5=16

或

a1=16 a5=1

…（12分）
從而an=2n-1或an=(-2)n-1或an=16×(

1

2

)n-1或an=16×(-

1

2

)n-1．
又因?yàn)镾_k+2、S_k、S_m依次成等差數(shù)列，得2S_k=S_k+2+S_m，而公比q≠1，
所以2×

a1(1-qk)

1-q

=

a1(1-qk+2)

1-q

+

a1(1-qm)

1-q

，即2=q²+q^m-k  （*）…（14分）
當(dāng)an=2n-1時(shí)，（*）式不成立；當(dāng)an=(-2)n-1時(shí)，解得m=k+1；
當(dāng)an=16×(

1

2

)n-1時(shí)，（*）式不成立；當(dāng)an=16×(-

1

2

)n-1時(shí)，（*）式不成立．
綜上所述，滿足條件的是an=(-2)n-1…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．