Question

定義：項數(shù)為偶數(shù)的數(shù)列，若奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為“對偶數(shù)列”．
（1）若項數(shù)為20項的“對偶數(shù)列”{a_n}，前4項為1，1，3，，求該數(shù)列的通項公式及20項的和；
（2）設(shè)項數(shù)為2m（m∈N^*）的“對偶數(shù)列”{a_n}前4項為1，1，3，，試求該數(shù)列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）項的和S_n；
（3）求證：等差數(shù)列{a_n}（a_n≠0）為“對偶數(shù)列”當且僅當數(shù)列{a_n}為非零常數(shù)數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數(shù)列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數(shù)列，公比為，a₂=1，由此能求出該數(shù)列的通項公式及20項的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N^*，當n為偶數(shù)時，．當n為奇數(shù)時，．
（3）設(shè){a_n}為等差數(shù)列，公差為d．若{a_n}為“對偶數(shù)列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列，由此{a_n}為非零常數(shù)列．若{a_n}為非零常數(shù)列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數(shù)列”的條件，因此{a_n}為“對偶數(shù)列”．
解答：解：（1）由條件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差數(shù)列，公差為2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比數(shù)列，公比為，a₂=1．∴
即

（2）1≤n≤2m，n∈N^*，
當n為偶數(shù)時，．
當n為奇數(shù)時，．
（3）設(shè){a_n}為等差數(shù)列，公差為d．
若{a_n}為“對偶數(shù)列”，則a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列，∴a₄²=a₂a₆，（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+5d），得出d=0，
所以{a_n}為非零常數(shù)列．
若{a_n}為非零常數(shù)列，則a₁=a₂=a₃=a₄=…，滿足“對偶數(shù)列”的條件，因此{a_n}為“對偶數(shù)列”．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．