Question

下列命題正確的是

（1）（3）

（只須填寫命題的序號即可）
（1）函數(shù)y=

π

2

-arccosx是奇函數(shù)；
（2）在△ABC中，A+B＜

π

2

是sinA＜cosB的充要條件；
（3）當α∈（0，π）時，cosα+sinα=m（0＜m＜1），則α一定是鈍角，且|tanα|＞1；
（4）要得到函數(shù)y=cos（

x

2

-

π

4

）的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個單位．

Answer 1

分析：對于（1）設f（x）=

π

2

-arccosx，利用奇偶函數(shù)的定義結合反三角函數(shù)的性質即可判斷函數(shù)y=

π

2

-arccosx是奇函數(shù)；（2）在△ABC中，A+B＜

π

2

⇒A＜

π

2

-B⇒sinA＜sin（

π

2

-B）⇒sinA＜cosB，反之不成立；（3）當α∈（0，π）時，cosα+sinα=m平方得到cosα＜0，則α一定是鈍角；（4）將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個單位得到函數(shù)y=cos[

1

2

（x+

π

2

）-

π

4

]即得到函數(shù)y=cos（

x

2

+

π

4

）的圖象，故錯．

解答：解：對于（1）設f（x）=

π

2

-arccosx，則f（-x）=

π

2

-arccos(-x)=

π

2

-(π-arccosx)=-f（x），故函數(shù)y=

π

2

-arccosx是奇函數(shù)；正確．
（2）在△ABC中，A+B＜

π

2

⇒A＜

π

2

-B⇒sinA＜sin（

π

2

-B）⇒sinA＜cosB，反之不成立；故（2）錯．
（3）當α∈（0，π）時，cosα+sinα=m平方得：
cos²α+sin²α+2cosαsinα=m²，⇒2cosαsinα=m²-1＜0，⇒cosα＜0，
則α一定是鈍角，且|tanα|＞1；故（3）正確；
（4）將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個單位得到函數(shù)y=cos[

1

2

（x+

π

2

）-

π

4

]即得到函數(shù)y=cos（

x

2

+

π

4

）的圖象，得不到函數(shù)y=cos（

x

2

-

π

4

）的圖象，故錯．
故答案為：（1），（3）．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、必要條件、充分條件與充要條件的判斷等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．