Question

【題目】過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）拋物線上一點(diǎn)，直線（其中）與拋物線交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)（，均不與點(diǎn)重合）.設(shè)直線，的斜率分別為，，.直線是否過定點(diǎn)？如果是，請求出所有定點(diǎn)；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.

【解析】

（Ⅰ）假設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可得結(jié)果.

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論可得，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，利用，可得之間的關(guān)系，最后根據(jù)直線方程特點(diǎn)，可得結(jié)果.

（Ⅰ）由題意得：

設(shè)直線方程為：

代入拋物線方程得：

設(shè)，

∴

∴，

解得：

∴拋物線方程為：

（Ⅱ）由（1）知：拋物線

∴，設(shè)，

由得：，

則

∵ ∴，

∴

即：

∴，解得

當(dāng)時(shí)，

∴，

恒過定點(diǎn)

∴直線恒過定點(diǎn)