Question

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，已知點(diǎn)M（，0），

N（0, 1），是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，

請說明理由.

  

Answer 1

解：(Ⅰ) 設(shè)C（x, y）,

∵ , , ∴ ,

∴ 由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………4分

(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

整理，得.         ①……………………6分

因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于

，解得或.

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 8分

設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

由①得.                 ②

又                ③

因?yàn)?img width=60 height=22 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0677/92/88592.gif" >，， 所以.………………11分

所以與共線等價(jià)于.

將②③代入上式，解得.

所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線. …………13分