下列命題:
①中,若,則;
②若A,B,C為的三個內角,則的最小值為
③已知,則數列中的最小項為;
④若函數,且,則;
⑤函數的最小值為.
其中所有正確命題的序號是
②③
解析試題分析:①△ABC中,若A<B,則a<b,由正弦定理
得0<sinA<sinB,又cos2A=1-2sin2A,cos2B=1-2sin2B,
所以cos2A>cos2B,①錯誤.
②因為A+B+C=π,α=A,β=B+C,α+β=π
所以=1,
原式等價于
= ,
當且僅當,即α=2β時取等號.所以②正確.
③因為=2+,因為1≤≤3,
所以設t=,則1≤t≤3.因為函數y=t+-2在區(qū)間(0,4)上單調遞減,所以在[1,3]上單調遞減,因此,當t=3時,函數有最小值3+-2=,則對應數列{an}中的最小項為,所以③正確.
④令g(x)=,則函數g(x)的幾何意義為曲線上點與原點連線斜率的大小.由題意可知,分別看作函數f(x)=log2(x+1)圖象上的點(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(b))與原點連線的斜率,由圖象可知,,所以④錯誤.
⑤因為,,問題轉化成點P(x,0)到A(1,2),B(2,3)距離之和的最小值。原式等價為|PA|+|PB|的最小值,找出點A關于x軸的對稱點D(1,-2).
則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|,所以最小值為|PD|=.
所以,⑤錯誤.故答案為:②③.
考點:正弦定理的應用,均值定理的應用,對號函數的性質,對數函數的圖象和性質。
點評:難題,本題綜合性較強,難度較大。靈活的對問題實施轉化,是解題的關鍵。
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
有一道解三角形的題因紙張破損,有一條件不清,且具體如下:在△ABC中,已知,B=, ,求角A.經推斷破損處的條件為三角形一邊的長度,且答案提示A=,請將條件補完整.
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