分析 (1)利用an=sn-sn-1,可得anan−1=2,由點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,可得bn+1-bn=2,
(2)利用裂項(xiàng)求和,
(3)利用錯位相減求和.
解答 解:(1)∵an是Sn與2的等差中項(xiàng),∴Sn=2an-2,
∴Sn-1=2an-1-2,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
又a1=2,∴an≠0,anan−1=2(n≥2,n∈N*),
即數(shù)列{an}是等比數(shù)列,an=2n,
∵點(diǎn)P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0,bn+1-bn=2,
即數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,又b1=1,∴bn=2n-1.
(2)∵1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),
∴1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1=12(1−13+13−15+15−17++12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12.
(3)∵cn=(2n−1)2n,
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n,
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n−3)2n+(2n−1)2,
因此,−Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)−(2n−1)2n+1,
即−Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)−(2n−1)2n+1,
∴Tn=(2n−3)2n+1+6.
點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推式的應(yīng)用,及常見的非等差、等比數(shù)列求和,屬于基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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