Question

設(shè)拋物線y²=4x被直線y=2x-4截得的弦長(zhǎng)為AB，以AB為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)此三角形的面積為9時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：設(shè)出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出弦長(zhǎng)AB，再設(shè)P（x₀，0），先求點(diǎn)P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距離d，根據(jù)面積為9，代入可求P得坐標(biāo)；

解答：解：：（1）

y2=4x y=2x-4

∴4x²-20x+16=0
由△＞0有 20²-4×4×16＞0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
x₁+x₂=5則x₁•x₂=4，
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

 =

(x1+x2)2-4x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=3

5

，
設(shè)P（x₀，0）則點(diǎn)P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距離 d=

|2x0-4|

5

，
依題意

1

2

×|AB|×d=9，∴

1

2

×3

5

×d=

1

2

×3

5

×

|2x0-4|

5

=9，
解得x₀=5或-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（5，0）或（-1，0）；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長(zhǎng)，關(guān)鍵是根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系表示，這是圓錐曲線的考查的熱點(diǎn)之一．