Question

【題目】五面體ABC﹣DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．
（1）求證：G是DE中點(diǎn)；
（2）求二面角A﹣CE﹣F的平面角的余弦．

Answer 1

【答案】
（1）證明：延長(zhǎng)EB，F(xiàn)C交于M 因?yàn)镸∈EB，所以M∈面AEBD M∈CF，所以M∈面CFDA

因?yàn)槊鍭EBD與面CFDA交于DA 所以M∈DA

因?yàn)锳B∥DE，BC∥EF 所以

由條件，易知四邊形ABEG是矩形，所以

即G是DE中點(diǎn)

（2）解：作BE⊥EF于E，以 ， ， 分別為x，y，z軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，

所以E（ ，﹣1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），令面AEC的法向量為 =（x，y，z），

所以 =0； =0，易得 的一個(gè)值為（ ，1，1），

因?yàn)锳B垂直面BEFC，所以可令面EFC法向量為 =（0，0，1）

所以cos =

所以二面角A﹣EC﹣F的余弦值為

【解析】（1）延長(zhǎng)EB，F(xiàn)C交于M，可得 M∈DA，由條件，易知四邊形ABEG是矩形，所以 ，即G是DE中點(diǎn)（2）作BE⊥EF于E，以 ， ， 分別為x，y，z軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，

所以E（ ，﹣1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），利用向量法求解