Question

（1）已知兩個等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若數(shù)列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在兩個等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 為0的等差數(shù)列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，由b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3表示出b₁，b₂，b₃，根據(jù)b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到等比數(shù)列{a_n}的首項與公比的關系式，把q看作未知數(shù)，根據(jù)a大于0得出根的判別式大于0，進而得到方程有兩個不同的實根，又數(shù)列{a_n}唯一，得到方程必有一根為0，把q=0代入方程即可得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）利用反證法進行證明，假設存在，分別設出兩等比數(shù)列的公比，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不為0的等差數(shù)列，列出關系式，化簡后分別求出兩等比數(shù)列的首項及公比，分別求出b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄的公差為0，與已知的公差不為0矛盾，假設錯誤，進而得到不存在兩個等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 為0的等差數(shù)列．

解答：解：（1）設{a_n}的公比為q，
∵a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，
∴b₁=1+a，b₂=2+aq，b₃=3+aq²，
∵b₁，b₂，b₃成等比數(shù)列，
∴（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）即aq²-4aq+3a-1=0，
∵a＞0，
∴△=4a²+4a＞0，
∴方程有兩個不同的實根，
又∵數(shù)列{a_n}唯一，
∴方程必有一根為0，將q=0代入方程得a=

1

3

，
∴a=

1

3

；
（2）假設存在兩個等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不為0的等差數(shù)列，
設{a_n}的公比為q₁，{b_n}的公比為q₂，
則b₂-a₂=b₁q₂-a₁q₁，b₃-a₃=b₁q₂²-a₁q₁²，b₄-a₄=b₁q₂³-a₁q₁³，
由b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成的等差數(shù)列得：

2(b1q2-a1q1)=b1-a1+(b1q22-a1q12)         2(b1q22-a1q12)=b1q2-a1q1+(b1q23-a1q13)

即

b1(q2-1)2-a1(q1-1)2=0① b1q2(q2-1)2-a1q1(q1-1)2=0②

，
①×q₂-②得：a₁（q₁-q₂）（q₁-1）²=0，
由a₁≠0得：q₁=q₂或q₁=1，
（i）當q₁=q₂時，由①，②得b₁=a₁或q₁=q₂=1，這時（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0與公差不為0矛盾；
（ii）q₁=1時，由①，②得b₁=0或q₂=1，這時（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0與公差不為0矛盾，
綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不為0的等差列．

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質化簡求值，會利用反證法說明命題的真假，是一道中檔題．