下面有四個命題:
(1)函數(shù)y=sin(
2
3
x+
π
2
)
是偶函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)=|2cos2x-1|的最小正周期是π;
(3)函數(shù)f(x)=sin(x+
π
4
)在[-
π
2
,
π
2
]
上是增函數(shù);
(4)函數(shù)f(x)=asinx-bcosx的圖象的一條對稱軸為直線x=
π
4
,則a+b=0

其中正確命題的序號是
(1)(4)
(1)(4)
分析:(1):因?yàn)?span id="5rpbpz7" class="MathJye">y=cos
2
3
x,并且函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以函數(shù)是偶函數(shù).(2):因?yàn)閒(x)=|cos2x|,所以函數(shù)的最小正周期為
π
2
.(3):因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(x+
π
4
)
的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-
4
,2kπ+
π
4
].(4)因?yàn)閒(
π
4
+x)=f(
π
4
-x),根據(jù)兩角和與差的正弦余弦公式可得(a+b)sinx=0,所以a+b=0.
解答:解:(1):由題意可得:y=sin(
2
3
x+
π
2
)=cos
2
3
x
,又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,所以函數(shù)是偶函數(shù).所以(1)正確.
(2):因?yàn)閒(x)=|2cos2x-1|=|cos2x|,所以函數(shù)的最小正周期為
π
2
.所以(2)錯誤.
(3):因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(x+
π
4
)
的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-
4
,2kπ+
π
4
],所以(3)錯誤.
(4)由題意可得:f(
π
4
+x)=f(
π
4
-x) 對任意x∈R恒成立,即可得2acos
π
4
sinx=-2bsin
π
4
sinx 對任意x∈R恒成立,即(a+b)sinx=0 對任意x∈R恒成立,所以a+b=0,所以(4)正確.
故答案為(1)(4).
點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性,周期性,奇偶性以及對稱性,此題屬于中檔題型,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面有四個命題:
(1)集合N中最小的數(shù)是1;
(2)若-a不屬于z,則a屬于z;
(3)方程組
x+y=1
x2-y2=9
的解集是(5,4)
(4)x2+1=2x的解可表示為{1,1};
其中正確命題的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面有四個命題:
(1)集合N中最小的數(shù)是1;
(2)0是自然數(shù);
(3){1,2,3}是不大于3的自然數(shù)組成的集合;
(4)a∈N,B∈N,則a+b不小于2
其中正確的命題的個數(shù)是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面有四個命題:
(1)x=2kπ+
π
3
(k∈Z)
是tanx=
3
的充分非必要條件;
(2)函數(shù)f (x)=|2cos2x-1|的最小正周期是π;
(3)函數(shù)f (x)=sin(x+
π
4
)在[-
π
2
,
π
2
]
上是增函數(shù);
(4)函數(shù)f (x)=asinx-bcosx的圖象的一條對稱軸為直線x=
π
4
,則a+b=0.
其中正確命題的序號是
(1)(4)
(1)(4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面有四個命題:
(1)各個側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;
(2)三條側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐;
(3)底面是正三角形的棱錐是正三棱錐;
(4)頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心,又是外心的棱錐必是正棱錐.
其中,正確命題的個數(shù)是(  )

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