Question

已知f(x)是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)，a，b∈R，對(duì)命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；

(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

思路　題干中已知函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性大多是根據(jù)自變量取值的大小推導(dǎo)函數(shù)值的大小，當(dāng)已知兩個(gè)函數(shù)值的關(guān)系時(shí)，也可以推導(dǎo)自變量的取值的大�。�多個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系，則不容易直接利用單調(diào)性，故可考慮利用四種命題的關(guān)系尋求原命題的等價(jià)命題．

解析　(1)逆命題：

已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)，a，b∈R，若

f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.

(用反證法證明)假設(shè)a＋b<0，則有a<－b，b<－a.

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，

∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．

∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，這與題設(shè)中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假設(shè)不成立．

從而a＋b≥0成立．逆命題為真．

(2)逆否命題：

已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)，a，b∈R，若

f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.

原命題為真，證明如下：

∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．

∴原命題為真命題．

∴其逆否命題也為真命題．