【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(x∈R),(a,b為實數(shù)).
(1)若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),求f(x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,若關于x方程|f(x+1)﹣1|=m|x﹣1|只有一個實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,求函數(shù)h(x)=2f(x+1)+x|x﹣m|+2m最小值.

【答案】
(1)解:顯然a≠0∵f(1)=0∴a+b+1=0

∵x∈R,且f(x)的值域為[0,+∞)

∴△=b2﹣4a=0


(2)解:方程|f(x+1)﹣1|=g(x),即|x2﹣1|=m|x﹣1|,變形得|x﹣1|(|x+1|﹣m)=0,

顯然,x=1已是該方程的根,…(6分)

欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=m,有且僅有一個等于1的解或無解,

解得m<0


(3)解:①當x≥m時,h(x)=3x2﹣mx+2m

(I)如果m≥0, ;

(II)如果m<0, ;

②當x≤m時,f(x)=x2+mx+2m

(I)如果m≥0,

(II)如果m<0,

由于2m2+2m﹣

所以


【解析】(1)利用f(1)=0得到a+b+1=0,f(x)的值域為[0,+∞),推出△=b2﹣4a=0,求出a,b,即可得到函數(shù)的解析式.(2)方程|f(x+1)﹣1|=g(x),化為|x﹣1|(|x+1|﹣m)=0,原方程只有一解,即方程|x+1|=m,有且僅有一個等于1的解或無解,求解即可.(3)①當x≥m時,h(x)=3x2﹣mx+2m,通過m≥0,m<0,求出最小值,②當x≤m時,f(x)=x2+mx+2m
通過m≥0,m<0,求出最小值即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關知識,掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担约皩Χ魏瘮(shù)的性質(zhì)的理解,了解當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.

練習冊系列答案
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【題目】“累積凈化量”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標,它是指空氣凈化從開始使用到凈化效率為50%時對顆粒物的累積凈化量,以克表示,根據(jù)《空氣凈化器》國家標準,對空氣凈化器的累計凈化量有如下等級劃分:

累積凈化量(克)

12以上

等級

為了了解一批空氣凈化器(共5000臺)的質(zhì)量,隨機抽取臺機器作為樣本進行估計,已知這臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間中,按照、、、均勻分組,其中累積凈化量在的所有數(shù)據(jù)有:4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9,并繪制了頻率分布直方圖,如圖所示:

(1)求的值及頻率分布直方圖中的值;

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