Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為

2

2

，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）設F（c，0），直線l：x-y-c=0，
由坐標原點O到l的距離為

2

2

則

|0-0-c|

2

=

2

2

，解得c=1
又e=

c

a

=

3

3

，∴a=

3

，b=

2

（II）由（I）知橢圓的方程為C：

x2

3

+

y2

2

=1
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由題意知l的斜率為一定不為0，故不妨設l：x=my+1
代入橢圓的方程中整理得（2m²+3）y²+4my-4=0，顯然△＞0．
由韋達定理有：y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=-

4

2m2+3

，①
假設存在點P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，則其充要條件為：
點P的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），
點P在橢圓上，即

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1．
整理得2x₁²+3y₁²+2x₂²+3y₂²+4x₁x₂+6y₁y₂=6．
又A、B在橢圓上，即2x₁²+3y₁²=6，2x₂²+3y₂²=6、
故2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②
將x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1及①代入②解得m2=

1

2

∴y1+y2=

2

2

或-

2

2

，
x₁+x₂=-

4m2

2m2+3

+2=

3

2

，即P(

3

2

，±

2

2

)
當m=

2

2

時，P(

3

2

，-

2

2

)，l：x=

2

2

y+1；
當m=-

2

2

時，P(

3

2

，

2

2

)，l：x=-

2

2

y+1