Question

（2009•盧灣區(qū)一模）若等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公比為q，集合M={x|x=

lim

n→∞

 

Sn

S2n

，q≠-1，q∈R}，則用列舉法表示M=

{0，

1

2

，1}

．

Answer 1

分析：由于涉及等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，故求和時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，同時(shí)注意極限的求解方法

解答：解：當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n，S_2n=2n，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

1

2

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，S2n=

a1(1-q2n)

1-q

，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1

1+qn

當(dāng)q＞1時(shí)，

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1

1+qn

=0
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1

1+qn

=1
故答案為{0，

1

2

，1}

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查等比數(shù)列的極限問題，運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，需要進(jìn)行分類討論．