Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．
(Ⅰ)求雙曲線的方程；
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓：．過點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為，問：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 雙曲線的方程為：； (Ⅱ) 為定值，定值為．

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)為，得出雙曲線的焦點(diǎn)為、，再設(shè)在拋物線上，根據(jù)，結(jié)合拋物線的定義得，的值，最后根據(jù)雙曲線定義結(jié)合點(diǎn)A在雙曲線上，得，可求雙曲線方程； (Ⅱ)設(shè)圓的方程為：，根據(jù)雙曲線的漸近線方程和直線與圓相切的條件，得圓的半徑為，從而求出圓的方程．過點(diǎn)P作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線l₁和l₂，設(shè)其中的一條斜率為，則另一條的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式方程，將直線和的方程與圓方程聯(lián)解，可以得出弦長(zhǎng)為s和t關(guān)于k的表達(dá)式，將其代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到定值．
試題解析：(Ⅰ)∵拋物線的焦點(diǎn)為，
∴雙曲線的焦點(diǎn)為、，                         1分
設(shè)在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，      3分
∴，                              4分
又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得：
，∴，∴雙曲線的方程為：．          6分
(Ⅱ)為定值．下面給出說明．
設(shè)圓的方程為：，∵圓與直線相切，
∴圓的半徑為，故圓：．       7分
顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，                     8分
設(shè)的方程為，即，
設(shè)的方程為，即，
∴點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離為，                      10分
∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，       11分
直線被圓截得的弦長(zhǎng)，         12分
∴，故為定值．           13分