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已知函數f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a
(1)如果對任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求實數a的取值范圍;
(2)設實數f(x)的兩個極值點分別為x1x2判斷①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否為定值?若是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數g(a)并求出g(a)的最小值;
(3)對于(2)中的g(a),設H(x)=
1
9
[g(x)-27],m,n∈(0,1)且m≠n,試比較|H(m)-H(n)|與|em-en|(e為自然對數的底)的大小,并證明.
分析:(1)由已知中函數f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a,可求出f'(x)的解析式,根據二次函數的圖象和性質可得對任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立時,實數a的取值范圍;
(2)由(1)中f'(x)的解析式,可求出x1x2,進而判斷出①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否為定值及函數g(a)的解析式,及g(a)的最小值;
(3)根據(2)中g(a)的解析式,我們可以求出H(x)=
1
9
[g(x)-27]的解析式,構造函數F(x)=H(x)-ex,利用導數法,可判斷出F(x)在區(qū)間(0,1)上的單調性,進而判斷出當m,n∈(0,1)且m≠n時,|H(m)-H(n)|與|em-en|的大。
解答:解:(1)∵函數f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a
∴函數f′(x)=x2+(a-3)x+(a2-3a)
則f′(x)-a2=x2+(a-3)x-3a=(x+a)(x-3)
若對任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,
則對任意x∈(1,2],f′(x)-a2>0恒成立
則a<-2.
(2)令f′(x)=0
則x=3或x=-a
則①x1+x2+a=3為定值;
②x12+x22+a2=2a2+9不為定值;
此時g(a)=2a2+9,當a=0時有最小值9;
③x13+x23+a3=27為定值;
(3)∵g(a)=2a2+9,
∴H(x)=
1
9
[g(x)-27]=
1
9
(2x2-18),
令F(x)=H(x)-ex=
1
9
(2x2-18)-ex,
則F′(x)=
4
9
x-ex,
當x∈(0,1)時,F(xiàn)′(x)<0恒成立
即F(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數
當m,n∈(0,1)且m≠n時,不妨令m>n
則F(m)-F(n)=[H(m)-em]-[H(n)-en]<0
即[H(m)-em]<[H(n)-en]
即H(m)-H(m)<em-en
即|H(m)-H(n)|<|em-en|
點評:本題考查的知識點是利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,函數恒成立問題,導數的運算,其中(1)的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質,(2)的關鍵是求出f(x)的兩個極值點分別為x1x2,(3)的關鍵是構造函數F(x)=H(x)-ex,并利用導數法判斷出F(x)在區(qū)間(0,1)上的單調性.
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已知函數f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實數x的取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( 。

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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數f(x)在[1,+∞)上為增函數,求實數a的取值范圍;
(2)當a=1時,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當a=1時,求證對任意大于1的正整數n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,則下列結論中正確的是(  )

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