精英家教網(wǎng)已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如圖），而A'、B'、C'、D'分別把AB、BC、CD、DA分為m：n，設(shè)AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面積；
（2）求證A'B'C'D'的面積不小于
12
．
分析：（1）由題意設(shè)AA'=mt，A'B=nt，通過mt+nt=1，∴t=
1
m+n
．推出A'B'C'D'的面積的表達(dá)式；
（2）利用配方把（1）的面積轉(zhuǎn)化為
m2+n2
(m+n)2
-
1
2
=
(m-n)2
2(m+n)2
≥0，從而證明A'B'C'D'的面積不小于
1
2
．
解答：解（1）：設(shè)AA'=mt，A'B=nt
又mt+nt=1，∴t=
1
m+n
．
在直角△D'AA'中，
D'A'2=D'A2+AA'2=m2t2+n2t2
=（m2+n2）t2
而正方形A'B'C'D'的面積=D′A′2=(m2+n2)t2=
m2+n2
(m+n)2
．
（2）證明：∵
m2+n2
(m+n)2
-
1
2
=
2(m2+n2)-(m+n)2
2(m+n)2
=
(m-n)2
2(m+n)2
≥0
∴
m2+n2
(m+n)2
≥
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查平面幾何的知識(shí)點(diǎn)，正方形的面積的求法，作差法證明A'B'C'D'的面積不小于
1
2
．是本題的難點(diǎn)，注意把握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且|AD|=2
（1）求□ABCD對(duì)角線交點(diǎn)E的軌跡方程．
（2）過A作直線交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
8
3
2
，MN的中點(diǎn)到Y(jié)軸的距離為
4
3
，求橢圓的方程．
（3）與E點(diǎn)軌跡相切的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值及此時(shí)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)空間向量及其運(yùn)算、角的概念及其求法和空間距離專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面體．

(1)化簡(jiǎn)＋＋，并在圖形中標(biāo)出其結(jié)果；

(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′的對(duì)角線BC′上的點(diǎn)，且BN∶NC′＝3∶1，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α，β，γ之值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如圖），而A'、B'、C'、D'分別把AB、BC、CD、DA分為m：n，設(shè)AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面積；
（2）求證A'B'C'D'的面積不小于數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：1962年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如圖），而A'、B'、C'、D'分別把AB、BC、CD、DA分為m：n，設(shè)AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面積；
（2）求證A'B'C'D'的面積不小于．

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